Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x \(cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)\)
\(=cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+sin\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{6}\right)sin\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{3\pi}{4}\right)\)
\(=cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)sin\left(-x-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=cos\left(x-\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{4}\right)=cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right)=cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
Mọi người giúp em giải bài này ạ, em cảm ơn
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
A=\(\frac{\sin2x+\sin x}{1+\cos2x+\cos x}\)
B=\(cota\left(\frac{1+\sin^2a}{\cos a}-cosa\right)\)
C=\(\frac{1+\cos x+\cos2x+\cos3x}{2\cos^2x+\cos x-1}\)
D=\(\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\tan\left(\pi-x\right)}{\cot\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\pi-x\right)}-2\cos x\)
E=\(\cos^2x\cdot\cot^2x+3\cos^2x-\cot^2x+2\sin^2x\)
\(F=\frac{\sin^2x+\sin^2x\tan^2x}{\cos^2x+\cos^2x\tan^2x}\)
\(G=\frac{1+cos2a-cosa}{2sina-sina}\)
H=\(sin^{^{ }4}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+1\)
Bài 2: chứng minh
a) cho \(\Delta ABCchứngminhsin\frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2}\)
b) chứng minh biểu thức sau độc lập với biến x:
A=\(cosx+cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)\)
c)cho \(\Delta\) ABC chứng minh : sin A+sin B+ sin C= \(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
d)CMR: \(\frac{cos2a}{1+sin2a}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\)
e) CMR:\(E=\frac{sin\alpha+cos\alpha}{cos^3\alpha}=1+tan\alpha+tan^2\alpha+tan^3\alpha\)
f) CMR \(\Delta\)ABC cân khi và chỉ khi \(sinB=2cosAsinC\)
g) CM: \(\frac{1-cosx+cos2x}{sin2x-sinx}=cotx\)
h)CM: \(\left(cos3x-cosx\right)^2+\left(sin3x-sinx\right)^2=4sin^2x\)
k) CMR trong tam giac ABC ta có: \(sin2A+sin2B+sin2C=4sinA\cdot sinB\cdot sinC\)
Bài 3: giải bất phương trình:
a)\(\frac{\left(1-3x\right)\left(2x^2+1\right)}{-2x^2-3x+5}>0\)
b)\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\ge0\)
c)\(\frac{\left(3x-2\right)\left(x^2-9\right)}{x^2-4x+4}\le0\)
d)\(\frac{\left(2x^2+3x\right)\left(3-2x\right)}{1-x^2}\ge0\)
e)\(\frac{\left(x^2+2x+1\right)\left(x-1\right)}{3-x^2}\)
f)\(\frac{2x+1}{-x^2+x+6}\ge0\)
\(A=\frac{2sinx.cosx+sinx}{1+2cos^2x-1+cosx}=\frac{sinx\left(2cosx+1\right)}{cosx\left(2cosx+1\right)}=\frac{sinx}{cosx}=tanx\)
\(B=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a}{cosa}-cosa\right)=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a-cos^2a}{cosa}\right)=\frac{cosa}{sina}.\frac{2sin^2a}{cosa}=2sina\)
\(C=\frac{1+cos2x+cosx+cos3x}{2cos^2x-1+cosx}=\frac{1+2cos^2x-1+2cos2x.cosx}{cos2x+cosx}=\frac{2cosx\left(cosx+cos2x\right)}{cos2x+cosx}=2cosx\)
\(D=\frac{2sinx.cosx.\left(-tanx\right)}{-tanx.sinx}-2cosx=2cosx-2cosx=0\)
\(E=cos^2x.cot^2x-cot^2x+cos^2x+2cos^2x+2sin^2x\)
\(E=cot^2x\left(cos^2x-1\right)+cos^2x+2=\frac{cos^2x}{sin^2x}\left(-sin^2x\right)+cos^2x+2=2\)
\(F=\frac{sin^2x\left(1+tan^2x\right)}{cos^2x\left(1+tan^2x\right)}=\frac{sin^2x}{cos^2x}=tan^2x\)
Câu G mẫu số có gì đó sai sai, sao lại là \(2sina-sina?\)
\(H=sin^4\left(\frac{\pi}{2}+a\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)+1=cos^4a-sin^4a+1\)
\(=\left(cos^2a-sin^2a\right)\left(cos^2a+sin^2a\right)+1=cos^2a-\left(1-cos^2a\right)+1=2cos^2a\)
Bài 2:
\(sin\frac{A+B}{2}=sin\left(\frac{180^0-C}{2}\right)=sin\left(90^0-\frac{C}{2}\right)=cos\frac{C}{2}\)
b/
\(A=cosx+cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)=cosx+2cos\left(x+\pi\right).cos\frac{\pi}{3}\)
\(=cosx-2cosx.\frac{1}{2}=0\)
c/
\(sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
d/ \(\frac{cos2a}{1+sin2a}=\frac{cos^2a-sin^2a}{cos^2a+sin^2a+2sina.cosa}=\frac{\left(cosa-sina\right)\left(cosa+sina\right)}{\left(cosa+sina\right)^2}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\)
e/
\(E=\frac{sina+cosa}{cos^3a}=\frac{1}{cos^2a}\left(tana+1\right)=\left(1+tan^2a\right)\left(tana+1\right)\)
\(E=tan^3a+tan^2a+tana+1\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right);\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\);
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ta có:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\)
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = - \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\)
1. Rút gọn biểu thức sau: C = \(sin6x\times cot3x-cos6x\)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
b) \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a+sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
3. Cho \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng: \(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times cos\frac{B}{2}\)
4. Chứng minh: Nếu \(sina=2sin\left(a+b\right)\) thì \(tan\left(a+b\right)=\frac{sina}{cosb-2}\)
MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ CHO MÌNH! CẢM ƠN RẤT NHIỀU!
\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)
\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)
\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))
Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng
\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn
Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:
\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)
\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)
4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(
Cho \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2},a\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)
Tính giá trị biểu thức: \(P=\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2\left(1-\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\right)}\)
chứng minh các đẳng thức sau
a) \(\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}\cos3x\)
b) \(\sin5x-2\sin x\left(\cos4x+\cos2x\right)=\sin x\)
\(cosx.cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{2}cosx\left(cos\frac{2\pi}{3}+cos2x\right)=-\frac{1}{4}cosx+\frac{1}{2}cosx.cos2x\)
\(=-\frac{1}{4}cosx+\frac{1}{4}\left(cos3x+cosx\right)=\frac{1}{4}cos3x\)
\(sin5x-2sinx\left(cos4x+cos2x\right)=sinx.cos4x+cosx.sin4x-2sinx.cos4x-2sinx.cos2x\)
\(=sin4x.cosx-cos4x.sinx-2sinx.cos2x=sin3x-2sinx.cos2x\)
\(=sinx.cos2x+cosx.sin2x-2sinx.cos2x\)
\(=sin2x.cosx-cos2x.sinx=sinx\)
chứng minh đẳng thức sau:
\(cooss\left(\frac{17\pi}{4}+x\right).cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+sin^2x=\frac{1}{2}\)
Tính giá trị của biểu thức sau : B= \(\dfrac{tan\left(\dfrac{21\pi}{2}-x\right).cos\left(38\pi-x\right).sin\left(x-7\pi\right)}{sin\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right).cos\left(x-2023\pi\right)}\)
Chứng minh đẳng thức
\(2sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+sin\left(3\pi-x\right)+sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=cosx\)
\(2sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+sin\left(3\pi-x\right)+sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(=2cosx+sinx-cosx-sinx\)
\(=cosx\)
